ARIMA

Die Komponenten eines ARIMA-Modells

Ein ARIMA-Modell besteht aus drei verschiedenen Teilen, nämlich Autoregressiv (AR), Integrated (I) und Moving Average (MA).

Ein autoregressives Modell beschreibt den aktuellen Wert als Funktion einer festen Anzahl vergangener Werte (Lags). Bezeichnet den aktuellen Wert zum Zeitpunkt tt als Yt, ein einfaches autoregressives Modell mit pp lags wird geschrieben als

woher αiist der Koeffizient für die Verzögerung ich und δtist der Fehlerterm (d. h. die Variation, die das Modell tut nicht erkläre zum Zeitpunkt tt). Als Beispiel, wenn unsere Variable Ytsteht für den Umsatz im Zeitraum tt, das obige Modell geht davon aus, dass der Umsatz im aktuellen Monat eine Funktion des Umsatzes im p istp vergangene Monate.

Der integrierte Teil des Modells gibt an, dass die Daten durch die Differenz zwischen den einzelnen Werten und dem Wert davor ersetzt werden. Die differenzierten Werte können wie folgt geschrieben werden

Wenn wir dies mit einem autoregressiven Modell kombinieren, bedeutet dies, dass, wenn wir im obigen Beispiel den Umsatz direkt modelliert haben, wir jetzt stattdessen den Umsatzunterschied von Periode zu Periode als Funktion des p modellierenp frühere Unterschiede. Ein Modell höherer Ordnung kann integriert werden, wobei die Unterschiede mehrfach berücksichtigt werden.

Schließlich modelliert der Teil des gleitenden Durchschnitts die Fehlerterme δtδtals lineare Kombination der vorherigen Fehlerterme. Das kann für qq Flaggen werden geschrieben als

woher μs ist der Mittelwert der Daten und iist der Koeffizient in der Linearkombination für Lag ich. Dies kann als gewichteter gleitender Durchschnitt über dem letzten angesehen werden q Perioden. Wenn wir noch einmal das Beispiel mit den Verkaufsdaten betrachten, berücksichtigt das Modell des gleitenden Durchschnitts den Umsatz im Zeitraum t als gewichteter Durchschnitt der q letzte Perioden, plus ein zufälliger Fehler δt.

Zusammensetzen der Komponenten

Wenn wir diese drei Komponenten zusammenfügen, erhalten wir das ARIMA-Modell, das insofern sehr flexibel ist, als es viele verschiedene Zeitreihen modellieren kann. Bei der Erörterung eines Arima-Modells ist es durchaus üblich, es mit dem zu beschreiben Auftrag es hat, also welche Werte p und q in den AR- und MA-Teilen haben und wie oft d es ist integriert. Wir schreiben, dass wir ein ARIMA-Modell oder eine ARIMA-Bestellung haben (p, d, q) (p,d,q). Die Werte dieser drei Parameter bestimmen die Form des Modells.

Wir können das vollständige ARIMA (p,0, q) schreiben (p,0,q) Modell als

Wenn eine andere Integrationsreihenfolge als 0 verwendet wird, wird die YtWerte werden ersetzt durch δtentsprechend auf beiden Seiten der Gleichung.

Exogene Variablen

In Indicio ist es möglich, Ereignisse zu einer Prognose hinzuzufügen, diese werden modelliert als exogene Variablen was bedeutet, dass sie auch in den unbekannten zukünftigen Perioden der Prognose einem vorbestimmten Pfad folgen. Ein ARIMA-Modell unterstützt diese, indem es sie auf der rechten Seite der Gleichung addiert, was bedeutet, dass der aktuelle Wert nicht nur eine Funktion seiner eigenen Verzögerungen in der Vergangenheit ist, sondern auch von den aktuellen Werten der exogenen Variablen. Wenn sich ein Extremereignis auf die Daten ausgewirkt hat, ermöglicht ein Ereignis zu diesem Zeitpunkt dem Modell, den Teil der Daten zuzuordnen, der nicht vom Modell anhand des Ereignisses erklärt wird, sodass das Modell die Zeitreihe besser so beschreiben kann, wie sie ohne das Ereignis ausgesehen hätte.

Wie passt Indicio zu einem ARIMA-Modell?

Um ein ARIMA-Modell anzupassen, müssen die Parameter p, d und q muss ausgewählt werden. In Indicio erfolgt dies durch die Bewertung einer großen Anzahl verschiedener Modelle. Es wird dasjenige ausgewählt, das gemäß Akaikes Informationskriterium (AIC) am besten zu den Daten passt. Dadurch wird ein einfaches Modell einem komplizierteren Modell vorgezogen, aber dennoch eine gute Modellanpassung gewährleistet.

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