ARIMA

I componenti di un modello ARIMA

Un modello ARIMA è composto da tre parti distinte, ovvero Autoregressivo (AR), Integrato (I) e Moving Average (MA).

Un modello autoregressivo descrive il valore corrente in funzione di un numero fisso di valori passati (ritardi). Indica il valore corrente al momento tt come Yt, un semplice modello autoregressivo con pp lags è scritto come

dove αiè il coefficiente di ritardo i e ε tè il termine di errore (cioè la variazione che il modello non spiegare al momento tt). Ad esempio, se la nostra variabile Ytrappresenta le vendite nel periodo di tempo tt, il modello sopra riportato presuppone che le vendite nel mese corrente siano una funzione delle vendite nel pp mesi precedenti.

La parte integrata del modello indica che i dati vengono sostituiti con la differenza tra ciascun valore e il valore precedente. I valori differenziati possono essere scritti come

La combinazione di questo con un modello autoregressivo significa che se nell'esempio precedente stessimo modellando direttamente le vendite, ora stiamo invece modellando la differenza delle vendite da un periodo all'altro in funzione della pp differenze precedenti. Un modello può essere integrato di un ordine superiore, in cui le differenze vengono prese più volte.

Infine, la parte relativa alla media mobile è la modellazione dei termini di errore tε tcome combinazione lineare dei termini di errore precedenti. Questo può essere per qq i lag devono essere scritti come

dove μm è la media dei dati e φ iè il coefficiente nella combinazione lineare per il ritardo i. Questa può essere considerata come una media mobile ponderata rispetto all'ultima q periodi. Se consideriamo nuovamente l'esempio dei dati di vendita, il modello della media mobile considera le vendite in base al periodo t essere una media ponderata del q ultimi periodi, più un errore casuale ε t.

Mettere insieme i componenti

Mettendo insieme questi tre componenti, otteniamo il modello ARIMA che è abbastanza flessibile in quanto può modellare molte serie temporali diverse. Quando si parla di un modello arima è abbastanza comune descriverlo usando il ordine ha, vale a dire quali valori p e q nelle parti AR e MA hanno e quante volte d è integrato. Scriviamo che abbiamo un modello o ordine ARIMA (p, d, q) (p,d,q). I valori di questi tre parametri determinano la forma del modello.

Possiamo scrivere l'intero ARIMA (p,0, q) (p,0,q) modello come

Se viene utilizzato un ordine di integrazione diverso da 0, Yti valori vengono sostituiti con δtdi conseguenza su entrambi i lati dell'equazione.

Variabili esogene

In Indicio, è possibile aggiungere eventi a una previsione, questi sono modellati come variabili esogene il che significa che seguono un percorso predeterminato, anche nei periodi futuri sconosciuti della previsione. Un modello ARIMA li supporta aggiungendoli sul lato destro dell'equazione, il che significa che il valore attuale non è solo una funzione dei suoi ritardi passati, ma anche dei valori contemporanei delle variabili esogene. Se un evento estremo ha avuto un effetto sui dati, un evento in questo momento consentirà al modello di assegnare la parte dei dati che non è spiegata dal modello utilizzando l'evento, offrendo al modello una migliore opportunità di descrivere le serie temporali come sarebbero apparse senza l'evento.

Come si adatta Indicio a un modello ARIMA?

Per adattarsi a un modello ARIMA, i parametri p, d e q deve essere selezionato. In Indicio questo viene fatto valutando un gran numero di modelli diversi. Viene selezionato quello che meglio si adatta ai dati secondo l'Information Criterion (AIC) di Akaike, che favorisce un modello semplice rispetto a uno più complicato, ma rappresenta comunque un buon adattamento del modello.

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