VAR

Autoregressieve vectormodellen (VAR) worden gebruikt om de relatie tussen meerdere tijdreeksen vast te leggen en kunnen worden gezien als een multivariate generalisatie van autoregressieve (AR) modellen (zie Geavanceerd: ARIMA). Als zodanig kan een VAR-model een complexe verzameling lineaire relaties tussen een set variabelen beschrijven. Een VAR-model vereist dat alle opgenomen variabelen stationair zijn. In gevallen waarin een of meer variabelen niet stationair zijn, is het gebruikelijk om het eerste verschil te nemen om stationariteit te bereiken.

Om een VAR-model te definiëren, geven we eerst het aantal variabelen aan als k en het aantal vertragingen dat wordt gebruikt als p. Het aantal vertragingen wordt vaak aangeduid als de orde van het model.

Door de verschillende tijdreeksen die in het model zijn opgenomen als Yi te schrijven, kunnen we de vector van kk variabelen als tijd t zoals

Een VAR-model heeft één vergelijking voor elke variabele, die deze beschrijft als een functie van de vertragingen van alle kk variabelen. Voor elke vertraging l een vectorcoëfficiënt ai, lbepaalt hoe deze vertraging de variabele Yi beïnvloedt waartoe de vergelijking behoort.

We kunnen nu de vergelijking voor elke variabele schrijven als

waarbij ci een constante is en de foutterm αi, t ‍is het onderdeel van yi, t‍wat niet door het model wordt verklaard. In het model zullen er k-vergelijkingen zijn, één voor elke variabele. Alle vergelijkingen kunnen samen worden geschreven als

waar de EENiktermen zijn nu matrices waarbij de coëfficiënten voor alle vergelijkingen aanwezig zijn en zowel de foutterm als de constante vectoren zijn. Merk ook op dat de vector ytaan de linkerkant is een vector van alle variabele waarnemingen op dat moment t.

Exogene variabelen

In Indicio is het mogelijk om gebeurtenissen toe te voegen aan een voorspelling, deze worden gemodelleerd als exogene variabelen wat betekent dat ze een vooraf bepaald pad volgen, zelfs in de onbekende toekomstige perioden van de voorspelling. Een VAR-model ondersteunt deze door ze aan de rechterkant van elke vergelijking op te tellen, wat betekent dat de huidige waarde niet alleen een functie is van de eigen variabelen en de andere variabelen, vertragingen uit het verleden, maar ook van de hedendaagse waarden van de exogene variabelen. Als een extreme gebeurtenis een effect had op de gegevens, zal een gebeurtenis op dit moment het model in staat stellen om het deel van de gegevens toe te wijzen dat niet wordt verklaard door het model dat de gebeurtenis gebruikt, waardoor het model een betere gelegenheid krijgt om de tijdreeks te beschrijven zoals deze er zonder de gebeurtenis uit zou hebben gezien.

Hoe past Indicio in een VAR-model?

Om in een VAR-model te passen, is de eerste taak het selecteren van de volgorde (d.w.z. het aantal vertragingen) ervan. In Indicio wordt dit gedaan door modellen van order 1 te monteren,... , pmax 1, ... ,pmax waarpmax is het maximale aantal vertragingen dat door de gebruiker is geselecteerd. Het model dat het beste bij de gegevens past volgens het informatiecriterium (AIC) van Akaike is geselecteerd. Dit geeft de voorkeur aan een eenvoudig model boven een ingewikkelder model, maar zorgt nog steeds voor een goede pasvorm van het model.

‍